Método de Runge -Kutta

Método de Runge -Kutta 

DOCUMENTO POWER POINT DE EJEMPLOS DE  Método de Runge -Kutta EN MATLAB

http://www.powershow.com/view/279b2b-ZTEyM/Presentacin_de_PowerPoint_flash_ppt_presentation

metodo de forward-euler

Interpolación

INTRODUCCIÓN A LA INTERPOLACION

Con frecuencia se encontrará con que tiene que estimar valores intermedios entre datos
definidos por puntos. El método más común que se usa para este propósito es la interpola-
ción polinomial. Recuerde que la fórmula general para un polinomio

f(x) = a 0  + a 1 x + a 2 x 2  + · · · + a n x n

  La interpolación polinomial consiste en de-
terminar el polinomio único de n-ésimo grado que se ajuste a n + 1 puntos. Este polino-
mio, entonces, proporciona una fórmula para calcular valores intermedios.

 INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES 

NOTA  :esto me  asimila que  este  mas puntos  tomados  en cada recta  a determinarlas  gráfica  saldrá mas  exacta esta dividida  en lineal cuadrática cubico y  superior

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON 

    EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS

 Interpolación lineal

La forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos con una línea recta.
Dicha técnica, llamada interpolación lineal, utilizando triángulos semejantes

que es una fórmula de interpolación lineal. La notación f 1 (x) designa que éste es un 

polinomio de interpolación de primer grado. Observe que además de representar la 

pendiente de la línea que une los puntos, el término [f(x 1 ) – f(x 0 )]/(x 1  – x 0 ) es una aproxi-

mación en diferencia dividida finita a la primer derivada

Esquema gráfi co de la interpolación lineal. Las áreas sombreadas indican los triángulos 

semejantes usados para obtener la fórmula de la interpolación lineal

NOTA:cuanto menor sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximación. Esto se debe al 

hecho de que, conforme el intervalo disminuye, una función continua estará mejor aproxi-

mada por una línea recta.

REGLA DEL TRAPEZOIDE

la regla trapezoidal  es parte de las formulas de integración de Newton las
cuales  se  basan  en  el  reemplazo  de  una  función  complicada  o  datos  tabulados  con  una
función aproximada que sea fácil de integrar

la regla trapezoidal es la primera de las formulas de integración de Newton en el que el polinomio utilizado es el de primer orden

 sustitución de el área trapezoidal 

factorisacion lu o descomposición lu

factorisacion lu o descomposición lu

problema regla trapezoidal dada una integral

Método de Newton-Raphson

X	f(x)		Ecuación	=	x^2-x-2		X1	f(X1)	f'(X1)	X0	e%	Respuesta
-10	108		Ecuación derivada	=	2x-1		0	-2	-1	-2	100
-9	88		X1	=	0		-2	4	-5	-1.2	66.6666667
-8	70		e%	=	0.01		-1.2	0.64	-3.4	-1.01176471	18.6046512
-7	54						-1.01176471	0.035432526	-3.02352941	-1.00004578	1.17183924
-6	40						-1.00004578	0.000137333	-3.00009155	-1	0.00457764	-1
-5	28						-1	2.09548E-09	-3	-1	6.9849E-08	-1
-4	18						-1	0	-3	-1	0	-1
-3	10						-1	0	-3	-1	0	-1
-2	4						-1	0	-3	-1	0	-1
-1	0						-1	0	-3	-1	0	-1
0	-2						-1	0	-3	-1	0	-1
1	-2						-1	0	-3	-1	0	-1
2	0						-1	0	-3	-1	0	-1
3	4						-1	0	-3	-1	0	-1
4	10						-1	0	-3	-1	0	-1
5	18
6	28
7	40
8	54
9	70
10	88

matlab

function x = Newt_n(f_name, xO)

% Iteración de Newton sin gráficos

x = xO; xb = x-999;

n=0; del_x = 0.01;

while abs(x-xb)>0.000001

  n=n+1; xb=x ;

  if n>300 break; end

  y=feval(f_name, x) ;

  y_driv=(feval(f_name, x+del_x) - y)/del_x;

  x = xb - y/y_driv ;

  fprintf(' n=%3.0f, x=%12.5e, y=%12.5e, ', n,x,y)

  fprintf(' yd = %12.5e \n', y_driv)

end

fprintf('\n Respuesta final = %12.6e\n', x) ;

f(x) = (x – 3) (x – 1) (x – 1)

n	xn	f(xn)	f'(xn)	xn+1
0	0.50000000	-0.62500000	2.75000000	0.72727273
1	0.72727273	-0.16904583	1.31404959	0.85591767
2	0.85591767	-0.04451055	0.63860849	0.92561694
3	0.92561694	-0.01147723	0.31413077	0.96215341
4	0.96215341	-0.00291894	0.15568346	0.98090260
5	0.98090260	-0.00073639	0.07748373	0.99040636
6	0.99040636	-0.00018496	0.03865069	0.99519176
7	0.99519176	-0.00004635	0.01930234	0.99759300
8	0.99759300	-0.00001160	0.00964539	0.99879578
9	0.99879578	-0.00000290	0.00482125	0.99939771
10	0.99939771	-0.00000073	0.00241026	0.99969881

metodo de falsa posición

	X	f(x)			Ecuación	=	exp(x)-3x
	-10	30.0000454			X1	=	0
	-9	27.00012341			X2	=	1
	-8	24.00033546			e%	=	0.01
	-7	21.00091188
	-6	18.00247875					X1	X2	Xm	f(X1)	f(X2)	f(Xm)	e%	Respuesta
	-5	15.00673795					0.000000000	1.000000000	0.500000000	1	-0.28171817	0.14872127	100.0
	-4	12.01831564					0.500000000	1.000000000	0.750000000	0.14872127	-0.28171817	-0.13299998	33.3
	-3	9.049787068					0.500000000	0.750000000	0.625000000	0.14872127	-0.13299998	-0.00675404	20.0
	-2	6.135335283					0.500000000	0.625000000	0.562500000	0.14872127	-0.00675404	0.06755466	11.1
	-1	3.367879441					0.562500000	0.625000000	0.593750000	0.06755466	-0.00675404	0.02951607	5.3
	0	1					0.593750000	0.625000000	0.609375000	0.02951607	-0.00675404	0.01115649	2.6
	1	-0.281718172					0.609375000	0.625000000	0.617187500	0.01115649	-0.00675404	0.00214465	1.3
	2	1.389056099					0.617187500	0.625000000	0.621093750	0.00214465	-0.00675404	-0.00231889	0.6
	3	11.08553692					0.617187500	0.621093750	0.619140625	0.00214465	-0.00231889	-9.0663E-05	0.3
	4	42.59815003					0.617187500	0.619140625	0.618164063	0.00214465	-9.0663E-05	0.00102611	0.2
	5	133.4131591					0.618164063	0.619140625	0.618652344	0.00102611	-9.0663E-05	0.0004675	0.1
	6	385.4287935					0.618652344	0.619140625	0.618896484	0.0004675	-9.0663E-05	0.00018836	0.0
	7	1075.633158					0.618896484	0.619140625	0.619018555	0.00018836	-9.0663E-05	4.8837E-05	0.0
	8	2956.957987					0.619018555	0.619140625	0.619079590	4.8837E-05	-9.0663E-05	-2.0917E-05	0.0	0.61907959
	9	8076.083928					0.619018555	0.619079590	0.619049072	4.8837E-05	-2.0917E-05	1.3959E-05	0.0	0.619049072
	10	21996.46579					0.619049072	0.619079590	0.619064331	1.3959E-05	-2.0917E-05	-3.4791E-06	0.0	0.619064331

X	f(x)			Ecuación	=	3x^2-3x+1
-10	231			X1	=	0
-9	190			X2	=	1
-8	153			e%	=	0.01
-7	120
-6	91					X1	X2	Xm	f(X1)	f(X2)	f(Xm)	e%	Respuesta
-5	66					0.000000000	1.000000000	0.500000000	0	1	0	100.0
-4	45					1.000000000	0.010000000	0.505000000	-0.00495	1.01489901	0.01534297	100.0
-3	28					0.010000000	0.000000000	0.005000000	0.98505	-0.01450299	1.04392966	100.0
-2	15					0.000000000	X1	0.000000000	1	0	1	100.0
-1	6					X1	0.000000000	0.000000000	1	0	1	100.0
0	1					0.000000000	1.000000000	0.500000000	0	1	0	100.0
1	0					1.000000000	0.010000000	0.505000000	-0.00495	1.01489901	0.01534297	100.0
2	3					0.010000000	0.000000000	0.005000000	0.98505	-0.01450299	1.04392966	100.0
3	10					0.000000000	X1	0.000000000	1	0	1	100.0
4	21					X1	0.000000000	0.000000000	1	0	1	100.0
5	36					0.000000000	1.000000000	0.500000000	0	1	0	100.0
6	55					1.000000000	0.010000000	0.505000000	-0.00495	1.01489901	0.01534297	100.0
7	78					0.010000000	0.000000000	0.005000000	0.98505	-0.01450299	1.04392966	100.0
8	105					0.000000000	X1	0.000000000	1	0	1	100.0
9	136					X1	0.000000000	0.000000000	1	0	1	100.0
10	171					0.000000000	1.000000000	0.500000000	0	1	0	100.0

X f(x) Ecuación = x^4+20 -10 10020 X1 = 0 -9 6581 X2 = 1 -8 4116 e% = 2 -7 2421 -6 1316 X1 X2 Xm f(X1) f(X2) f(Xm) e% Respuesta -5 645 0.000000000 1.000000000 0.500000000 20.0625 162029.395 6.8925E+20 100.0 -4 276 1.000000000 2.000000000 1.500000000 25.0625 394565.923 2.4237E+22 100.0 -3 101 2.000000000 0.000000000 1.000000000 21 194501 1.4312E+21 100.0 -2 36 0.000000000 X1 0.000000000 20 160020 6.5569E+20 100.0 -1 21 X1 0.000000000 0.000000000 20 160020 6.5569E+20 100.0 0 20 0.000000000 1.000000000 0.500000000 20.0625 162029.395 6.8925E+20 100.0 1 21 1.000000000 2.000000000 1.500000000 25.0625 394565.923 2.4237E+22 100.0 2 36 2.000000000 0.000000000 1.000000000 21 194501 1.4312E+21 100.0 3 101 0.000000000 X1 0.000000000 20 160020 6.5569E+20 100.0 4 276 X1 0.000000000 0.000000000 20 160020 6.5569E+20 100.0 5 645 0.000000000 1.000000000 0.500000000 20.0625 162029.395 6.8925E+20 100.0 6 1316 1.000000000 0.500000000 0.750000000 -0.28171817 0.14872127 -0.13299998 33.3 7 2421 0.750000000 0.500000000 0.625000000 -0.13299998 0.14872127 -0.00675404 20.0 8 4116 0.625000000 0.500000000 0.562500000 -0.00675404 0.14872127 0.06755466 11.1 9 6581 0.625000000 0.562500000 0.593750000 -0.00675404 0.06755466 0.02951607 5.3 10 10020 0.625000000 0.593750000 0.609375000 -0.00675404 0.02951607 0.01115649 2.6